1  Introducción

El análisis de series de tiempo es una disciplina estadística clave para estudiar fenómenos dinámicos que evolucionan a lo largo del tiempo. Desde variables económicas como la inflación y la producción industrial, hasta métricas ambientales como las temperaturas globales o el tráfico en redes informáticas, las series de tiempo permiten desentrañar patrones temporales —como tendencias, estacionalidad o ciclos— que son críticos para la toma de decisiones basada en datos.

1.1 Modelos Fundamentales en Series de Tiempo

1.1.1 Modelos Autorregresivos (AR)

Los modelos AR(p) suponen que el valor actual de una serie (\(x_t\)) depende linealmente de sus \(p\) valores pasados:
\[ x_t = \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + \ldots + \alpha_p x_{t-p} + \varepsilon_t, \]
donde \(\varepsilon_t\) es ruido blanco. Son ideales para capturar dependencias secuenciales en datos estacionarios.

1.1.2 Modelos de Media Móvil (MA)

Los modelos MA(q) relacionan el valor actual con errores pasados:
\[ x_t = \varepsilon_t + \beta_1 \varepsilon_{t-1} + \beta_2 \varepsilon_{t-2} + \ldots + \beta_q \varepsilon_{t-q}. \]
Estos modelos son útiles para describir impactos temporales de eventos aleatorios.

1.1.3 Modelos ARMA: Combinando lo Mejor de AR y MA

Los modelos ARMA(p, q) integran componentes autorregresivos y de media móvil:
\[ x_t = \sum_{i=1}^p \alpha_i x_{t-i} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^q \beta_j \varepsilon_{t-j}. \]
Son eficaces para series estacionarias con patrones mixtos de dependencia.

1.1.4 Modelos ARIMA: Extendiendo ARMA a Series No Estacionarias

Los modelos ARIMA(p, d, q) aplican diferenciación (orden \(d\)) para convertir series no estacionarias en estacionarias antes de usar ARMA:
\[ (1 - B)^d x_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \alpha_i (1 - B)^d x_{t-i} + \sum_{j=1}^q \beta_j \varepsilon_{t-j}, \]
donde \(B\) es el operador de desplazamiento hacia atrás. Son esenciales para manejar tendencias o varianzas variables.

1.2 Objetivo y Estructura del Documento

Este documento profundiza en estos modelos, combinando el rigor teórico de Montgomery, Jennings y Kulahci (2008) con las implementaciones prácticas de Cowpertwait y Metcalfe (2009). La exposición se organiza en cuatro pilares:

  1. Fundamentos Teóricos
    • Estacionariedad, pruebas de Dickey-Fuller y herramientas diagnósticas (ACF, PACF).
  2. Formulación Matemática
    • Ecuaciones y propiedades de modelos AR, MA, ARMA y ARIMA.
  3. Estimación y Validación
    • Métodos de máxima verosimilitud, criterios de información (AIC/BIC) y diagnóstico de residuos.
  4. Aplicaciones Prácticas
    • Casos de estudio en finanzas (pronóstico de precios), logística (demanda de inventario) y climatología.

1.3 Relevancia en la Era de los Datos

Los modelos de series de tiempo no solo son herramientas académicas: son pilares en predicción de mercados financieros, gestión de recursos energéticos y monitoreo de cambio climático. Su capacidad para descomponer complejidad temporal en componentes interpretables los hace indispensables en un mundo impulsado por datos dinámicos.